matematika123.com_ 2021, sudut, kuadran trigonometri. M123 membahas nilai-nilai sinus, cosinus maupun tangen dari sudut-sudut di kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV dengan dasar sudut-sudut istimewa 0°, 30° 45° 60° 90° 180° dan 360°, sudut negatif dan periodik.
Bagian pertama adalah tabel sudut istimewa yang memuat nilai sinus dan cosinus sudut 0°, sudut-sudut istimewa yang berada di kuadran I (30°, 45°, 60°), dan juga 90°. Tabel ini sebaiknya dikuasai dengan baik sehingga bisa lancar dan cepat untuk menentukan sudut-sudut lain di kuadran yang berbeda.
Tabel Nilai Sinus & Cosinus Sudut-sudut Istimewa
| θ | sin θ | cos θ |
| 0° | 0 | 1 |
| 30° | 1/2 | 1/2 √3 |
| 45° | 1/2 √2 | 1/2 √2 |
| 60° | 1/2 √3 | 1/2 |
| 90° | 1 | 0 |
Rumus Nilai Sinus & Cosinus Sudut di Berbagai Kuadran
Berikutnya menentukan sinus, cosinus sudut-sudut di kuadran I, II, III, dan IV, sudut negatif, dan sudut pada fungsi periodik.
Rumus-rumus yang digunakan sebagai berikut:
Kuadran I
sin (90 − α)° = cos α°
cos (90 − α)° = sin α°
Kuadran II
sin (180 − α)° = sin α°
cos(180 − α)° = − cos α°
Kuadran III
sin (180 + α)° = − sin α°
cos(180 + α)° = − cos α°
Kuadran IV
sin (360 − α)° = − sin α°
cos(360 − α)° = cos α°
Sudut Negatif
sin (−α)° = − sin α°
cos (−α)° = cos α°
Periodik
sin (n⋅360 + α)° = sin α
cos (n⋅360 + α)° = cos α
Catatan:
tan α = sin α / cos α
0 / 1 = 0
1 / 0 = tak terdefinisi
Grafik Fungsi Dasar Sinus & Cosinus
Untuk mempermudah melihat nilai maupun tanda plus minus pada sinus cosinus, selain hafalan A-Si-TA-Cos, bisa juga dengan mengingat grafik fungsi dasar dari sinus – cosinus berikut ini.
A. Grafik y = sin x
untuk 0° ≤ x ≤ 360°
Dari gambar di atas terlihat bahwa
-Untuk 0° < x < 180° nilai sinus adalah POSITIF
-Untuk 180° < x < 360° nilai sinus adalah NEGATIF
-Untuk 0° , 180° dan 360° bernilai NOL
-Untuk 90° bernilai SATU
-Untuk 270° bernilai NEGATIF SATU
B. Grafik Fungsi y = cos x
untuk 0° ≤ x ≤ 360°
Dari gambar di atas terlihat bahwa
-Untuk 0° < x < 90° nilai cosinus adalah POSITIF
-Untuk 90° < x < 270° nilai cosinus adalah NEGATIF
-Untuk 270° < x < 360° nilai cosinus adalah POSITIF
-Untuk 90° dan 270° bernilai NOL
-Untuk 0° dan 360° bernilai SATU
-Untuk 180° bernilai Negatif SATU
Contoh yang diberikan:
Soal No. 1
Tentukan letak kuadran dan nilai dari:
a) sin 120°
b) sin 135°
c) sin 150°
d) sin 210°
e) sin 330°
Pembahasan
Sudut-sudut di beberapa kuadran:
a) Kuadran II, sin 120° = sin (180 − 60)° = sin 60° = 1/2 √3
b) Kuadran II, sin 135° = sin (180 − 45)° = sin 45° = 1/2 √2
c) Kuadran II, sin 150°= sin (180 − 30)° = sin 30° = 1/2
d) Kuadran III, sin 210° = sin (180 + 30)° = − sin 30° = − 1/2
e) Kuadran IV, sin 330° = sin (360 − 30)° = −sin 30° = − 1/2
Soal No. 2
Tentukan letak kuadran dan nilai-nilai dari:
a) sin (2π/3)
b) sin (5π/6)
Pembahasan
Sudut dalam radian, ingat 2π rad = 360° dan π radian = 180°
a) sin (2π/3)
= sin (360°/3) = sin 120° = 1/2 √3
Sudut di kuadran II.
b) sin (5π/6)
= sin (5(180°)/6 ) = sin 150° = 1/2
Sudut di kuadran II.
Soal No. 3
Tentukan nilai-nilai dari:
a) cos 120°
b) cos 135°
c) cos 150°
d) cos 210°
e) cos 330°
Pembahasan
a) cos 120°
= cos(180 − 60)° = − cos 60° = − 1/2
b) cos 135°
= cos(180 − 45)° = − cos 45° = − 1/2 √2
c) cos 150°
= cos(180 − 30)° = − cos 30° = − 1/2 √3
d) cos 210°
= cos(180 + 30)° = − cos 30° = − 1/2 √3
e) cos 330°
= cos(360 − 30)° = cos 30° = − 1/2 √3
Soal No. 4
Tentukan nilai-nilai dari:
a) tan 150°
b) tan 240°
Pembahasan
Nilai tangen dapat diperoleh dari nilai sinus dibagi cosinus sudut.
a) tan 150°
sin 150° = sin (180 – 30)° = sin 30° = 1/2
cos 150° = cos (180 – 30)° = −cos 30° = 1/2 √3
tan 150 ° = 1/2 : 1/2 √3 = 1/√3 = 1/3 √3
b) tan 240°
sin 240° = sin (180 + 60)° = −sin 60° = − 1/2 √3
cos 240° = cos (180 + 60)° = −cos 60° = −1/2
tan 240 ° = − 1/2 √3 : − 1/2 = √3
Soal No. 5
Tentukan nilai dari:
a) sin 750°
b) cos 780°
Pembahasan
a) sin 750°
sin (2 ⋅ 360 + 30)° = sin 30° = 1/2
b) cos 780°
cos (2 ⋅ 360 + 60)° = cos 60° = 1/2
Soal No. 6
Tentukan nilai dari:
cos 120° ⋅ sin 330° − cos 60°
Pembahasan
cos 120° = −1/2
sin 330° = −1/2
cos 60°= 1/2
cos 120° ⋅ sin 330° − cos 60°
= (−1/2)(−1/2) − 1/2
= 1/4 − 1/2
= 1/4 − 2/4
= − 1/4
Soal No. 7
Diberikan sin 35° = p, maka cos 55° =….(matematika123.com)
Pembahasan
Dari sin (90 − α)° = cos α°
sin 35° = sin (90 − 55)° = cos 55° = p
Soal No. 8
Diberikan sin 35° = p, maka sin 55° =….(matematika123.com)
A. 1 + p2
B. 1 – p2
C. p2 + 1
D. √(1 – p2 )
E. √(1 + p2 )
Pembahasan
Dari:
sin (90 − α)° = cos α°
sin 35° = sin (90 − 55)° = cos 55° = p
cos 55° = p = p / 1
Buat segitiga siku-sikunya seperti gambar berikut:
p menjadi sisi samping segitiga dan 1 menjadi sisi miringnya. (Ingat cosinus α = sisi samping / sisi miring). Pythagoras untuk menentukan sisi depannya.
Sehingga
sin 55° = sisi depan/sisi miring
= √(1-p2) / 1 = √(1-p2)
Soal No. 9
Tentukan nilai dari:
a) sin (−120°)
b) −sin 150°
Pembahasan
sin (−α)° = − sin α°
cos (−α)° = cos α°
a) sin (−120°) = − sin 120° = − sin 60° = 1/2√3
b) −sin 150° = − sin 30° = − 1/2
Soal No. 10
Jika sin (α −180)° = 1/3, maka nilai 1 − 2 sin α =….(matematika123.com _2021)
A. 1/3
B. 2/3
C. 4/3
D. 5/3
E. 7/3
Pembahasan
sin (α −180)° = 1/3
− sin α = 1/3
sin α = − 1/3
Nilai dari:
1 − 2 sin α = 1 − 2 (− 1/3)
= 1 + 2/3
= 5/3
Jawaban: D. 5/3
Catatan:
sin (α − 180)° = − sin α
cos (α − 180)° = − cos α
Soal-soal Latihan
Soal No. 11
Nilai dari cos ( 5π/6) adalah…
A. 1/2 √3
B. – 1/2
C. 1/2 √3
D. – 1/2 √3
E. 1/2 √2
Soal No. 12
Nilai dari sin 1920° adalah…
A. 0
B. 1/2
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 1
Soal No. 13
Nilai dari cos 210° ⋅ sin 330° − cos 60° adalah…
A. 3/4 (2 − √3)
B. 1/4 (2 − √3)
C. 0
D. −3/4 (2 − √3)
E. −1/4 (2 − √3)
Soal No. 14
Jika sin α° = 4/5 dan 90 < α < 180 , maka tan α° =…
A. 4/3
B. – 4/3
C. – 3/4
D. 3/4
E. 3/5
Soal No. 15
Nilai sin ( 0,5 π + x) sama dengan…
A. sin x
B. cos x
C. sin x
D. sin (–x)
E. cos x