Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Program IPA tahun 2015 No. 11-15

Berikut ini soal dan pembahasan UN matematika SMA program IPA tahun 2015. Pembahasan nomor 11-15.

Soal No. 11
Butet membuat dua jenis kue. Setiap kue A memerlukan modal Rp2.000,00 dan dijual mendapat keuntungan Rp1.000,00 per buah, sedangkan untuk kue B memerlukan modal Rp3.000,00 dan dijual mendapat keuntungan Rp1.500,00 per buah. Modal yang tersedia Rp1.200.000,00 dan paling banyak hanya dapat membuat 500 kue setiap hari. Jika kue-kue tersebut terjual habis, keuntungan maksimum yang diperoleh Butet adalah….
A. Rp500.000,00
B. Rp600.000,00
C. Rp650.000,00
D. Rp700.000,00
E. Rp750.000,00

Pembahasan
Banyak roti A = x
Banyak roti B = y

Pertidaksamaan yang dapat dibuat dari soal program linear di atas:
x + y ≤ 500 (persamaan 1)
2000x + 3000y ≤ 1200000 disederhanakan
2x + 3y ≤ 1200 (persamaan 2)

Adapun fungsi obyektif dari masalah di atas adalah:
f(x, y) = 1000x + 1500y

Perhatikan gambar kedua garis 1 dan 2 dalam sumbu cartesius:

Titik potong kedua garis:
2x + 3y = 1200 |x1|
x + y = 500 |x2|

2x + 3y = 1200
2x + 2y = 1000
————— −
y = 200

dari pers 1
x + y = 500
x + 200 = 500
x = 300
Titik potong: C (300, 200)

Dari tiga titik yang diketahui:
f(x, y) = 1000x + 1500y

A (0, 400) → f(x, y) = 1000(0) + 1500(400) = Rp600.000

B (500, 0) → f(x, y) = 1000(500) + 1500(0) = Rp500.000

C (300, 200) → f(x, y) = 1000(300) + 1500(200) = Rp600.000

Nilai maksimum: Rp600.000
Jawaban: B

Soal No. 12
Transformasi T adalah komposisi dari pencerminan terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi dengan pusat O(0, 0) sebesar 90° ke arah berlawanan arah putar jarum jam. Bayangan dari garis 3x + 5y − 2 = 0 oleh transformasi T mempunyai persamaan….
A. 3x – 5y – 2 = 0
B. 3x + 5y + 2 = 0
C. 3x – 5y + 2 = 0
D. 5x – 3y + 2 = 0
E. 5x – 3y – 2 = 0

Pembahasan
M1 adalah matriks transformasi pencerminan terhadap garis y = x, dan M2 adalah

rotasi dengan pusat O(0, 0) sebesar 90°.

Matriks komposisi dari dua buah transformasi ini adalah M (perhatikan letak urutan M2 dan M1)

Berikutnya, misalkan bayangan x adalah x’ dan bayangan y adalah y’. Hubungan keduanya

dengan matriks komposisi transformasinya

Terlihat bahwa
x’ = – x atau x = -x’
y’ = y atau y = y’

Sehingga bayangan dari kurva:
3x + 5y − 2 = 0

ganti x dengan x’ dan y dengan y’
3(-x’) + 5(y’) − 2 = 0
-3x’ + 5y’ − 2 = 0

kembalikan ke x dan y lagi:

-3x + 5y − 2 = 0

atau sama saja dengan
3x − 5y + 2 = 0
Jawaban: C

Soal No. 13
Diketahui f(x) = x² – 4x + 6 dan g(x) = 2x + 3. Fungsi komposisi (fog)(x) =….
A. 2x² – 8x + 12
B. 2x² – 8x + 15
C. 4x² + 4x + 3
D. 4x² + 4x + 15
E. 4x² + 4x + 27

Pembahasan
f(x) = x² – 4x + 6
g(x) = 2x + 3
(fog)(x) =….

Masukkan g(x) ke dalam f(x):
f(x) = x² – 4x + 6
(fog)(x) = (2x + 3)² – 4(2x + 3) + 6
= 4x² + 12x + 9 – 8x – 12 + 6
= 4x² + 4x + 3
Jawaban: C

Soal No. 14
Diketahui vektor-vektor a = 3i – 2j + 4k, b = 4i + 3j + 5k, dan c = 2i + xj -4k. Jika vektor a tegak lurus terhadap vektor c, hasil 2a + b – c =…
A. 8i – 9j + 9k
B. 8i – 6j + 9k
C. 8i – 7j + 17k
D. 12i – 7j + 17k
E. 8i + 4j + 17k

Pembahasan
a = 3i – 2j + 4k
b = 4i + 3j + 5k
c = 2i + xj -4k

Tentukan dulu nilai x pada vektor c. a tegaklurus c artinya a ⋅ c = 0
(3i – 2j + 4k)(2i + xj -4k) = 0
6 – 2x – 16 = 0
2x = -10
x = -5

Terlihat c = 2i -5j -4k

2a + b – c
= 2(3i – 2j + 4k) + (4i + 3j + 5k) – (2i -5j -4k)
= (6i – 4j + 8k) + (4i + 3j + 5k) – (2i -5j -4k)
= 8i + 4j + 17k
Jawaban: E

Soal No. 15
Diketahui matriks

dan