Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Program IPA tahun 2015 No. 1-5

Berikut ini soal dan pembahasan UN matematika SMA program IPA tahun 2015. Pembahasan nomor 1-5.

Soal No. 1
Pernyataan yang setara dengan “Jika semua siswa lulus ujian maka seluruh guru akan senang” adalah…
A. Semua siswa lulus ujian dan ada guru yang tidak senang.
B. Semua siswa tidak lulus ujian dan seluruh guru akan senang.
C. Ada siswa yang tidak lulus ujian atau seluruh guru akan senang.
D. Ada siswa yang tidak lulus ujian atau ada guru yang akan senang.
E. Ada guru yang akan senang atau semua siswa tidak lulus ujian.

Pembahasan
Logika matematika, pernyataan yang setara:
p → q setara dengan ~p ∨ q
Sehingga:
Ada siswa yang tidak lulus ujian atau seluruh guru akan senang. Jawab: C.

Soal No. 2
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1: Adinda tidak rajin belajar atau Adinda lulus ujian.
Premis 2: Adinda tidak lulus ujian.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah….
A. Adinda rajin belajar.
B. Adinda tidak rajin belajar dan Adinda tidak lulus ujian.
C. Adinda rajin belajar atau Adinda tidak lulus ujian.
D. Adinda rajin belajar dan Adinda tidak lulus ujian.
E. Adinda tidak rajin belajar.

Pembahasan
Misal:
p : Adinda rajin belajar
q : Adinda lulus ujian
r : Adinda lulus ujian

Sehingga premis di atas bentuknya:
~p ∨ q
~q

Bentuk ~p ∨ q setara dengan p → q, sehingga jika ditulis ulang dan disimpulkan adalah:
p → q
~q
——-
∴ ~p

Jadi kesimpulannya adalah ~p yaitu Adinda tidak rajin belajar. Jawaban: E

Soal No. 3
Persamaan kuadrat x² + 3x – 7 = 0 mempunyai akar α dan β. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah….
A. x² + x – 9 = 0
B. x² + x + 9 = 0
C. x² – x – 9 = 0
D. x² – x + 17 = 0
E. x² – x – 17 = 0

Pembahasan
Dari persamaan kuadrat x² + 3x – 7 = 0 dapat diambil data terlebih dahulu:
α + β = -b/a = -3/1 = -3
α ⋅ β = c/a = -7/1 = -7

Ingat rumus untuk menyusun persamaan kuadrat jika akarnya adalah x₁ dan x₂ :
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0

Sehingga dengan x₁ = α + 2 dan x₂ = β + 2 menjadi:
x² – (α + 2 + β + 2)x + (α + 2)(β + 2) = 0
x² – (α + β + 4)x + α β + 2α + 2β + 4 = 0
x² – (α + β + 4)x + α β + 2(α + β) + 4 = 0
x² – (-3 + 4)x + (-7) + 2(- 3) + 4 = 0
x² – x – 9 = 0
Jawaban: C

Soal No. 4
Persamaan kuadrat ax² – 2ax + 2a – 3 = 0 mempunyai dua akar real. Batas nilai α yang memenuhi adalah….
A. –3 ≤ a ≤ 0
B. 0 ≤ a ≤ 3
C. a ≤ – 3 atau a ≥ 0
D. a < – 3 atau a > 0
E. a ≤ 0 atau a ≥ 3
Tidak dibahas.

Soal No. 5
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x – 4y + 3 = 0 adalah….
A. x² + y² – 2x – 8y + 13 = 0
B. x² + y² + 2x + 8y – 13 = 0
C. x² + y² – 2x – 8y + 21 = 0
D. x² + y² + 2x + 8y + 21 = 0
E. x² + y² – 2x + 8y – 13 = 0

Pembahasan
Langkah pertama menentukan jarak titik pusat ke garis 3x – 4y + 3 = 0, dimana jarak ini menjadi jari-jari lingkaran.

Jadi lingkaran ini berjari-jari 2 dengan pusat di titik (1, 4) sehingga persamaannya:
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 1)² + (y – 4)² = 2²
x² – 2x + 1 + y² – 8y + 16 = 4
x² + y² -2x -8y + 13 = 0
Jawaban: A.