matematika123.com_ Materi program linear kelas 11 SMA. Pengenalan program linier (linear) dari dasar. Dari cara menentukan persamaan garis lurus, membuat persamaan garis dari gambar, menentukan titik potong, daerah hasil dan fungsi tujuan dari pertidaksamaan yang diberikan (nilai optimum).
Soal No. 1
Diberikan sebuah persamaan linear 3y = 2x – 12
Tentukan:
a) titik potong grafik (garis) pada sumbu x
b) titik potong grafik pada sumbu y
Pembahasan
Menentukan titik potong garis dari persamaan linear
Titik potong sumbu x → y = 0
3y = 2x – 12
3(0) = 2x – 12
12 = 2x
x = 6
Tp (6, 0)
Titik potong sumbu y → x = 0
3y = 2x – 12
3y = 2(0) – 12
3y = -12
y = -4
TP (0, -4)
Soal No. 2
Perhatikan gambar dua buah garis pada bidang kartesius berikut ini!
Tentukan:
a) persamaan garis I
b) persamaan garis II
c) titik potong garis I dan garis II
Pembahasan
Soal sederhana ini, membuat persamaan garis dari gambar yang diberikan, perlu dikuasai dengan baik agar bisa mengerjakan soal yang lebih lanjut.
Rumus berikut untuk membantu membuat persamaan garis yang diketahui titik potongnya pada sumbu x dan sumbu y:
| ax + by = ab |
dimana a dan b berturut-turut nilai ordinat dan absis pada titik potong garis.
a) persamaan garis I
Perhatikan gambar:
a = 12
b = 3
ax + by = ab
12x + 3y = 12(3)
12x + 3y = 36 bisa disederhanakan menjadi
4x + y = 12
b) persamaan garis II
Perhatikan gambar di soal:
a = 8
b = 6
ax + by = ab
8x + 6y = 8(6)
8x + 6y = 48 bisa disederhanakan menjadi
4x + 3y = 24
c) titik potong garis I dan garis II
4x + y = 12 dikali 3
4x + 3y = 24 dikali 1
12x + 3y = 36
4x + 3y = 24
_____________ −
8x = 12
x = 12/8
x = 3/2
4x + y = 12
4(3/2) + y = 12
6 + y = 12
y = 6
TP(3/2, 6)
Soal No. 3
Diberikan pertidaksamaan
5x + 4y ≥ 20
Tentukan apakah titik (0, 0) berada di dalam daerah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas!
Pembahasan
Cek (0, 0), tinggal masukkan ke ruas kiri dan diliat apakah lebih besar atau lebih kecil dari 12
5x + 4y
= 5(0) + 4 (0)
= 0
Terlihat hasilnya tidak lebih besar atau sama dengan 12, jadi tidak termasuk daerah penyelesaian
Soal No. 4
Perhatikan gambar berikut ini!
Tentukan sistem pertidaksamaan yang memiliki daerah himpunan penyelesaian pada bagian yang diarsir pada gambar di atas!
Pembahasan
Dari gambar di atas terlihat daerah yang diarsir ada beberapa garis yang terlibat.
Tinjau satu-persatu:
-Berada di sebelah kanan sumbu y
Pertidaksamaannya adalah
x ≥ 0
-Berada di atas sumbu x
Pertidaksamaannya adalah
y ≥ 0
-Di bawah garis yang melalui titik (0, 5) dan titik (4, 0)
Pertidaksamaannya adalah
5x + 4y ≤ 20
-Di bawah garis yang melalui titik (0, 12) dan titik (2, 0)
Pertidaksamaannya adalah
12x + 2y ≤ 24 disederhanakan
6x + y ≤ 12
Sehingga sistem pertidaksamaannya secara lengkap adalah:
x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 4y ≤ 20, 6x + y ≤ 12
Untuk sistem pertidaksamaan dengan lebih dari 4 garis pada prinsipnya sama juga, tinggal ditambahkan saja jika masih ada garis yang lain
Soal No. 5
Perhatikan gambar berikut ini!
Sistem pertidaksamaan dengan daerah (ii) sebagai daerah himpunan penyelesaiannya adalah…
Pembahasan
Dengan cara yang sama seperti no 4, perhatikan perbedaan tandanya.
Dari gambar di atas terlihat daerah yang diarsir dibentuk oleh beberapa buah garis.
Tinjau satu-persatu:
-Berada di sebelah kanan sumbu y
Pertidaksamaannya adalah
x ≥ 0
Berada di atas sumbu x
Pertidaksamaannya adalah
y ≥ 0
Di bawah garis yang melalui titik (0, 5) dan titik (4, 0)
Pertidaksamaannya adalah
5x + 4y ≤ 20
-Di sebelah kanan (atas) garis yang melalui titik (0, 12) dan titik (2, 0)
Pertidaksamaannya adalah
12x + 2y ≥ 24 disederhanakan
6x + y ≥ 12
Sehingga sistem pertidaksamaannya secara lengkap adalah:
x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 4y ≤ 20, 6x + y ≥ 12
Soal No. 6
Perhatikan gambar berikut ini!
Nilai maksimum untuk f(x, y) = 6x + 5y adalah….
Pembahasan
Sistem pertidaksamaannya adalah
(i) x ≥ 0
(ii) y ≥ 0
(iii) 2x + 5y ≤ 10
(iv) 6x + 3y ≤ 18
Titik potong C, dari (iii) dan (iv)
2x + 5y = 10 kali 3
6x + 3y = 18 kali 1
6x + 15y = 30
6x + 3y = 18
_____________ −
12y = 12
y = 1
2x + 5y = 10
2x + 5 = 10
2x = 5
x = 5/2
C (5/2, 1)
Titik-titik potong (titik sudut) selengkapnya:
A (0, 0)
B (3, 0)
C (5/2, 1)
D (0, 2)
Nilai maksimum untuk
f(x, y) = 6x + 5y
A (0, 0) → f(x, y) = 6(0) + 5(0) = 0
B (3, 0) → f(x, y) = 6(3) + 5(0) = 18
C (5/2, 1) → f(x, y) = 6(5/2) + 5(1) = 20
D (0, 2) → f(x, y) = 6(0) + 5(2) = 10
Soal No. 7
Seorang pedagang ikan hias memiliki akuarium yang dapat menampung paling banyak 250 ikan hias. Ikan hias jenis A dengan harga beli Rp20.000,00 dapat dijual kembali dengan harga jual Rp22.000,00 per ekor. Ikan hias jenis B dengan harga beli Rp30.000,00 dapat djual lagi dengan harga jual Rp34.000,00 per ekor.Dengan modal sebesar Rp6.000.000,00 pedagang ikan tadi akan mendapatkan keuntungan maksimum jika ia membeli…..(matematika123.com_2020)
A. 100 ikan jenis A dan 150 ikan jenis B
B. 150 ikan jenis A dan 100 ikan jenis B
C. 125 ikan jenis A dan 125 ikan jenis B
D. 250 ikan jenis A saja
E. 200 ikan jenis B saja
Pembahasan
Ikan A → x
Ikan B → y
Jumlah ikan yang bisa ditampung tidak lebih dari 250 ekor:
x + y ≤ 250 (i)
Harga beli A, 20.000, harga Beli B 30000, modal 6 juta
20000x + 30000y ≤ 6000000
2x + 3y ≤ 600 (ii)
Titik C, dari (i) dan (ii)
x + y = 250 kali 3
2x + 3y = 600
3x + 3y = 750
2x + 3y = 600
______________ −
x = 150
y = 100
C (150, 100)
Titik-titik lain
A (0, 0)
B (250, 0)
C (150, 100)
D (0, 200)
Fungsi Tujuan:
Keuntungan ikan A Rp2000 per ekor, ikan B Rp4000 per ekor
f(x, y) = 2000x + 4000y
A (0, 0) → 2000(0) + 4000(0) = 0
B (250, 0) → 2000(250) + 4000(0) = 500000
C (150, 100) → 2000(150) + 4000(100) = 700000
D (0, 200) → 2000(0) + 4000(200) = 800000
Terlihat keuntungan pedagang ikan akan maksimum jika ia membeli 200 ekor ikan jenis B dan menjualnya kembali.
Dari soal ini terlihat juga bahwa nilai optimum (maksimum atau minimum) tidak selalu berada di titik C atau yang posisinya seperti itu.
Soal No. 8
Perhatikan gambar berikut!
Daerah yang diarsir pada merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…
A. x ≥ 0, 6x + y ≤ 12, 5x + 4y ≥ 20
B. x ≥ 0, 6x + y ≥ 12, 5x + 4y ≤ 20
C. x ≥ 0, 6x + y ≤ 12, 4x + 5y ≥ 20
D. x ≥ 0, x + 6y ≤ 12, 4x + 5y ≥ 20
E. x ≥ 0, x + 6y ≤ 12, 5x + 4y ≥ 20
Pembahasan
Jawaban: A. x ≥ 0, 6x + y ≤ 12, 5x + 4y ≥ 20
Soal No. 9
Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II, sedangkan untuk barang B diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dapat menghasilkan x barang A dan y barang B, maka model matematikanya adalah sistem pertaksamaan….
A. 6x + 4y ≤ 18, 2x + 8y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
B. 3x + 2y ≤ 9, 2x + 4y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0
C. 2x + 3y ≤ 9, 4x + 2y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0
D. 3x + 4y ≤ 9, 2x + 2y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0
E. 2x + 3y ≤ 9, 2x + 4y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan
Bisa dibuat tabel biar mudah dilihat.
| Barang A (x) | Barang B (y) | Jumlah jam | |
| Mesin I | 6 jam | 4 jam | 18 jam |
| Mesin II | 4 jam | 8 jam | 18 jam |
Dari kerja mesin I saat mengerjakan barang A (6 jam) dan barang B (4 jam) yang tidak lebih dari 18 jam
6x + 4y ≤ 18
3x + 2y ≤ 9
Dari kerja mesin II saat mengerjakan barang A (4 jam) dan barang B (8) yang tidak lebih dari 18 jam
4x + 8y ≤ 18
2x + 4y ≤ 9
dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0
Jawaban: B. 3x + 2y ≤ 9, 2x + 4y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0