matematika123.com_ 2020, Jarak titik dalam dimensi tiga. Jarak titik pada dimensi tiga mencakup jarak titik ke titik, jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang. Sebelum beberapa contoh soal yang akan diberikan, beberapa rumus dasar untuk mempermudah materi ini bisa diperhatikan terlebih dahulu.
A. Rumus Pythagoras
Pada segitiga siku-siku dengan sisi a, b dan c seperti gambar di atas berlaku hubungan
c2 = a2 + b2
B. Jarak dua buah titik pada bidang x-y
Jika diketahui titik A (x1, y1) dan titik B (x2, y2) maka jarak antara titik A dan titik B adalah d di mana
d2 = (x2 – x1 )2 + (y2 – y1)2
C. Jarak Dua Titik Bidang x, y, z
Jika diketahui titik A (x1, y1, z1) dan titik B (x2, y2, z2) maka jarak d antara titik A dan titik B adalah
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2
D. Segitiga siku-siku ABC
Pada segitiga dengan dua buah garis tinggi yang diketahui berlaku hubungan sebagai berikut:
AC x BC = AB x CD
Soal No. 1
Diberikan sistem koordinat x, y, z dan 8 buah titik sebagai berikut!
| A (0, 0, 10) B (24, 0, 10) C (24, 8, 10) D (0, 8, 10) |
E (0, 0, 16) F (24, 0, 16) G (24, 8, 16) H (0, 8, 16) |
a) Lukis titik yang diberikan pada sistem koordinat yang disediakan dan hubungkan hingga menjadi sebuah balok
b) Tentukan jarak titik A ke titik G
c) Jika titik M merupakan titik tengah garis AG, tentukan koordinat titik M
d) Hitung jarak antara titik M dan titik C
Pembahasan
a) Posisi titik dalam bidang koordinat dan balok ABCD EFGH yang dihasilkan sebagaimana gambar berikut ini.
b) Jarak titik A ke titik G
Titik A (0, 0, 10)
Titik G (24, 8, 16)
c) Koordinat titik M
Titik A (0, 0, 10)
Titik G (24, 8, 16)
Koordinat titik M
Sehingga M (12, 4, 13)
d) Jarak antara titik M dan titik C
M (12, 4, 13)
C (24, 8, 10)
Soal No. 2
Pada kubus ABCD.EFGH titik P terletak pada perpotongan garis AC dan BD. Titik K berada pada rusuk CG sehingga CK : KG = 3 : 1. Jika panjang sisi kubus adalah 12 cm, jarak titik P ke titik K adalah….(matematika123.com_2020)
A. √17 cm
B. 2√17 cm
C. 3√17 cm
D. 4√17 cm
E. 5√17 cm
Pembahasan
Digambar dulu titik-titik yang ada cari segitiga siku-siku yang berkaitan:
Dari gambar terlihat:
Panjang AC = √(122 + 122) = 12√2 cm
Panjang PC = ½ AC = 6√2 cm
Panjang CK = ¾ × 12 = 9 cm
Dari segitiga siku-siku PCK
Soal No. 3
Atap sebuah bangunan berbentuk limas beraturan seperti ditunjukkan gambar berikut.
Jika panjang BC = 12 m, dan TC = 10 m, dan sebuah tiang kayu dipasang di tengah-tengah bangunan, maka tinggi kayu adalah….(matematika123.com -2020-)
A. (6 + √7 ) m
B. (6 + 2√7 ) m
C. (6 + 3√7 ) m
D. (6 + 4√7 ) m
E. (6 + 5√7 ) m
Pembahasan
Gambar bagian atapnya dulu saja:
Dari segitiga siku-siku TEC
EC = 12/2 = 6 m
TC = 10 m
TE = √(TC2 – EC2 )
TE = √(102 – 62 ) = 8 m
Dari segitiga siku-siku TPE
TE = 8 m
PE = 12/2 = 6m
TP = √(82 – 62 )
TP = √(TE2 – PE2 ) = √28 = 2√7 m
Tinggi tiang dengan demikian ialah
= (6 + 2√7) m
Soal No. 4
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 12 cm, BC = 8 cm dan CG = 9 cm. Tentukan jarak antara titik A ke garis BE pada balok tersebut!
Pembahasan
Gambar balok, garis BE dan jarak titik A ke garis BE
Dengan pythagoras temukan panjang garis BE
BE = √(AB2 + AE2 )
BE = √(122 + 92 )
BE = 15 cm
Dari segitiga siku-siku EAB dengan AB sebagai alas, AE sebagai tinggi dan BE sebagai alas, AL sebagai tinggi berlaku
AL × BE = AB × AE
AL × 15 = 12 × 9
AL = 7,2 cm
Soal No. 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah…
A. 8√5 cm
B. 6√5 cm
C. 6√3 cm
D. 6√2 cm
E. 6 cm
Pembahasan
Misalkan jaraknya adalah PQ, perhatikan gambar
Dari segitiga HBP yang sama kaki, panjang PB = PH
PB = √(122 + 62 )
PB= √180 tidak usah diubah dulu.
Panjang diagonal
HB = a√3 = 12√3 cm
Terkhir dari segitiga PQB
PQ = √(PB2 – QB2 )
PQ = √([√180 ]2 – [6√3 ]2 )
PQ = √(180 – 108)
PQ = √72 = 6√2 cm
Soal No. 6
Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku sama kaki dengan sudut BAC = 90°. Proyeksi D pada segitiga ABC adalah E sehingga E merupakan titik tengah BC. Jika AB = AC = p dan DE = 2p, maka AD =…(Soal UMPTN Tahun 1992)
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut
∠ ABE= 45°, ∠BEA = 90°, AB = p sehingga:
AE = AB cos 45°
= p cos 45°
= ½ p√2
Panjang AD, pythagoras segitiga AED
AD2 =[2p]2 +[ ½ p√2]2
AD2 = (4p2 + ½ p2)
AD2 = (9/2 p2)
AD = √ (9/2p2) = 3/2p√2
Soal No. 7
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah…(UN Matematika SMA Tahun 2011)
A. 4 √6 cm
B. 4√5 cm
C. 4√3 cm
D. 4√2 cm
E. 4 cm
Pembahasan
Tipe soal seperti No. 5, bisa diliat lagi pembahasannya.
S = 12 cm → PQ = 6√2 cm
S = 8 cm → MM’ = 4√2 cm
Jawaban: D
Soal No. 8
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E terhadap bidang BDG adalah…(UN Matematika SMA Tahun 2012)
A. 2√2 cm
B. 2√3 cm
C. 3√2 cm
D. 4√2 cm
E. 4√3 cm
Pembahasan
Gambar kubus ABCD.EFGH dan bidang BDG
Rumus jadinya:
EE’’ = 2/3 × EC
EE’’ = 2/3 × 6√3 = 4√3 cm
Atau:
Jarak yang dicari adalah panjang EE’’
Panjang EG = a√2 = 6√2 cm
Panjang PC = 3√2
Panjang PP” = 6 cm
Panjang PG
PG = √[(PC)2 + (GC)2]
PG = √[(3√2 )2 + (6)2]
PG = √(18 + 36)
PG = √54 = 3√6 cm
Terakhir dari segitiga EPG berlaku
EE’’ × PG = EG × PP’’
EE” × 3√6 = 6√2 × 6
EE” = 4√3 cm
Soal No. 9
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 72 cm. Jarak titik C terhadap bidang BDG adalah….
A. 12√3 cm
B. 18√3 cm
C. 24√3 cm
D. 36√3 cm
E. 48√3 cm
Pembahasan
Jarak titik C ke bidang BDG diberi nama CC’ atau di gambar soal no.8 sama dengan C ke E’ adalah 1/3 dari panjang diagonal EC:
Panjang EC = a√3 = 72√3 cm
Panjang CC’= 1/3 EC
= 1/3 × 72√3 cm
= 24√3 cm
Soal No. 10
Potongan kayu berbentuk prisma.
Jarak antara titik P dan Q adalah…(Matematika123.com -2020-)
A. a√95 cm
B. a√110 cm
C. a√115 cm
D. a√130 cm
E. a√135 cm
Petunjuk:
Gunakan rumus pythagoras beberapa kali
atau
Gunakan rumus jarak titik bidang x, y, z (Rumus C)
Soal No. 11
Potongan kayu berbentuk prisma.
Jarak antara titik A ke garis BI adalah…(Matematika123.com -2020-)
A. a/17 √17 cm
B. 5a/17 √17 cm
C. 10a/51 √17 cm
D. 10a/51 √51 cm
E. 10a/51 √102 cm
Pembahasan
Jarak titik A ke garis BI, dari balok yang terbentuk
d (a√102) = a√2 (10a)
d = 10a/51 √51 cm
Soal No. 12
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dibuat bidang datar. Luas bagian bidang di dalam kubus sama dengan…
A. 3a2/2
B. 2a2
C. a2√6
D. a2/2 √6
E. a2/3 √6