matematika123.com- Berikut ini soal dan pembahasan UN matematika SMA program IPA tahun 2015. Pembahasan nomor 16-20.
Soal No. 16
Diketahui (x + 2) merupakan faktor dari persamaan suku banyak 3x3 + (m + 2)x2 – 5x – 2 = 0. Salah satu faktor linear yang lain dari persamaan tersebut adalah….
A. 3x – 1
B. 3x + 1
C. x + 1
D. x – 2
E. x – 3
Pembahasan
Pertamakali tentukan dulu nilai m pada suku banyak di atas dari faktor yang telah diketahui yaitu (x + 2).
x + 2 = 0
x = − 2
Masukkan −2 pada suku banyak di atas sama dengan nol untuk mendapatkan nilai m.
3(−2)3 + (m + 2)(−2)2 – 5(−2) – 2 = 0
−24 + 4m + 8 + 10 − 2 = 0
4m = 8
m = 2
Sehingga suku banyak di atas setelah m diganti 2 adalah:
3x3 + 4x2 – 5x – 2 = 0.
Berikutnya dari pilihan yang ada, coba masukkan satu persatu mana yang mendapatkan hasil nol. Perhatikan angka (x) yang dicobakan dari tiap-tiap pilihan yang ada:
A. 3x – 1 → 3x – 1 = 0 → x = 1/3
B. 3x + 1 → 3x + 1 = 0 → x = -1/3
C. x + 1 → x + 1 = 0 → x = -1
D. x – 2 → x – 2 = 0 → x = 2
E. x – 3 → x – 3 = 0 → x = 3
Setelah dimasukkan akan diperoleh saat x = -1/3 dimasukkan diperoleh hasil nol.
Jawaban: B
Soal No. 17
Diketahui suku banyak ax3 + bx2 + 4x – 5 dibagi x2 – x – 2 bersisa 6x + 1. Nilai a – b adalah….
A. 3
B. 4
C. 5
D. -3
E. -4
Pembahasan
Misalkan suku banyak di atas P(x) = ax3 + bx2 + 4x – 5
Pembagian suku banyak di atas dapat ditulis seperti ini:
P(x) = (x2 – x – 2) H(x) + 6x + 1
P(x) = (x – 2)(x + 1)H(x) + 6x + 1
di mana H(x) adalah hasil bagi, dan 6x + 1 adalah sisa.
Masukkan x = 2 dan x = -1 untuk mendapatkan nilai P(2) dan P(-1) terlebih dahulu:
P(x) = (x – 2)(x + 1)H(x) + 6x + 1
P(2) = 0 + 6(2) + 1
P(2) = 13
P(-1) = (x – 2)(x + 1)H(x) + 6x + 1
P(-1) = 0 + 6(-1) + 1
P(-1) = -5
Karena P(-1) = -5 maka:
P(x) = ax3 + bx2 + 4x – 5
P(-1) = a(-1)3 + b(-1)2 + 4x – 5 = -5
-a + b -9 = -5
-a + b = 4
atau
a – b = -4
Jawaban: E
Soal No. 18
Penyelesaian pertidaksamaan 1/4log(x2 + 3x + 2) > 1/4log(5x + 5) adalah…
A. -2 < x < -1 atau x > 3
B. x < -2 atau x > 3
C. x < -3 atau x > 2
D. -2 < x < 3
E. -1 < x < 3
Pembahasan
Perhatikan beberapa persyaratan untuk bentuk logaritma di atas.
f(x) > 0
g(x) > 0
f(x) < g(x)
Satu persatu dicari penyelesaian dari pertidaksamaan di atas:
f(x) < g(x)
x2 + 3x + 2 < 5x + 5
x2 – 2x – 3 < 0
(x – 3)(x + 1)< 0
-1 < x < 3
f(x) > 0
x2 + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) > 0
x < -2 atau x > -1
g(x) > 0
5x + 5> 0
5x > -5
x > -1
Dari ketiga pertidaksamaan tadi akan diperoleh hasil akhirnya -1 < x < 3
Jawaban: E
Soal No. 19
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m dan memantul kembali dengan 3/5 kali tinggi semula. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah…
A. 6 m
B. 10 m
C. 12 m
D. 16 m
E. 20 m
Pembahasan
Jalannya bola ada saat naik, ada saat turun. Kedua lintasan kemudian dijumlahkan.
Dari jumlah barisan geometri tak hingga, dimana a = 4 dan r = 3/5 pada saat turun dan a = 4(3/5) = 12/5 dan r = 3/5 pada saat naiknya diperoleh
Jawaban: D. 16 m
Soal No. 20
Diketahui vektor a dan b dengan |a| = 3, |b| = 4, |a + b| = 5. Jika θ adalah sudut antara vektor a dan b nilai sin 2θ adalah….
A. 1
B. 4/5
C. 3/5
D. 1/2
E. 0
Pembahasan
Dari aturan cosinus jumlah dua buah vektor yang memiliki sudut θ:
Diperoleh:
Karena cos θ = 0, maka sin θ = 1. Maka:
sin 2θ = 2sin θ cos θ = 0