Kesebangunan dan Kongruensi

Matematika123.com- Contoh soal dan pembahasan kesebangunan dan kongruensi, matematika SMP. Syarat-syarat kesebangunan, perbandingan sisi yang bersesuaian dan penggunaan rumus pada garis tinggi segitiga ke sisi miringnya dan kesebangunan pada yang terbentuk akibat garis sejajar pada sisi segitiga.

Soal No. 1
Berikut ini ditampilkan ukuran panjang dan lebar dari 4 buah persegipanjang.
(i) 10 cm, 15 cm
(ii) 16 cm, 20 cm
(iii) 18 cm, 12 cm
(iv) 12 cm, 15 cm
Pasangan persegipanjang yang sebangun adalah….
A. (i) dan (ii)
B. (ii) dan (iii)
C. (i) dan (iv), (ii) dan (iii)
D. (i) dan (iii), (ii) dan (iv)

Pembahasan
Persegipanjang yang sebangun akan memiliki perbandingan panjang dan lebar yang sama:
(i) 10 cm, 15 cm → 2 : 3
(ii) 16 cm, 20 cm → 4 : 5
(iii) 18 cm, 12 cm → 3 : 2
(iv) 12 cm, 15 cm → 4 : 5

Terlihat yang sebangun adalah (i) dan (iii) serta (ii) dan (iv), jawaban D.

Soal No. 2
Perhatikan gambar dua buah trapesium di bawah ini!

smp-kesebangunan-no2
Jika kedua trapesium sebangun, tentukan besarnya sudut QRS pada trapesium PQRS!

Pembahasan
Karena sebangun maka besar ∠Q = ∠ B = 30°. Sehingga besar ∠QRS = 180° – 30° = 150°

Soal No. 3
Segitiga ABC memiliki panjang sisi berturut-turut 12 cm, 6 cm, dan 9 cm seperti pada gambar berikut ini!

smp-kesebangunan-no3

Ukuran segitiga berikut yang tidak sebangun dengan Δ ABC adalah….
A. 3, cm, 4 cm, 2 cm
B. 20 cm, 15 cm, 10 cm
C. 9 cm, 6 cm, 15 cm
D. 14 cm, 21 cm, 28 cm

Pembahasan
Perhatikan perbandingan masing-masing sisi segitiga:
A. 3, cm, 4 cm, 2 cm → 2, 3, 4 → 2 : 3 : 4
B. 20 cm, 15 cm, 10 cm → 10, 15, 20 → 2 : 3 : 4
C. 9 cm, 6 cm, 15 cm → 6, 9, 15 → 2 : 3 : 5
D. 14 cm, 21 cm, 28 → 2 : 3 : 4 cm

Terlihat segitiga pada pilihan C memiliki perbandingan sisi yang lain dari lainnya.

Soal No. 4
Sebuah pohon pada saat tertentu memiliki bayangan sepanjang 8 m. Tidak jauh dari pohon itu terdapat sebuah tiang bendera.
smp-kesebangunan-no4
Tentukan panjang bayangan dari sebuah tiang bendera yang memiliki tinggi 10 m pada saat yang sama!

Pembahasan
Bayangan Tiang : tinggi tiang = bayangan pohon : tinggi pohon
Bayangan tiang : 10 = 8 : 12
Bayangan tiang = (8/12) x 10 = 6,33 meter

Soal No. 5
Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC berikut!

smp-kesebangunan-no5

Panjang AC = 8 cm dan AB = 6 cm. Tentukan jarak titik A ke titik D!

Pembahasan
ΔABC sebangun dengan ΔAEB. Karena itu berlaku
AD : AB = AC : BC
AD : 6 = 8 : 10
AD = (8/10) x 6 = 4,8 cm

Soal No. 6
Pak Budi memiliki sebidang tanah berbentuk segitiga siku-siku seperti gambar dibawah!

smp-kesebangunan-no6a
Pak Budi membagi tanahnya menjadi dua buah segitiga siku-siku. Bagian yang lebih luas akan ditanami padi sedangkan bagian yang lebih sempit akan ditanami sayuran. Tentukan luas masing-masing bagian tanah Pak Budi yang akan ditanami padi dan sayuran!

Pembahasan
Karena yang diketahui panjang sisi miring segitiga, untuk menentukan luas segitiga terlebih dahulu dicari garis tinggi AD.

jawab-smp-kesebangunan-no6
Dari hubungan antara garis tinggi ke sisi miringnya diperoleh:
AD2 = CD x DB
AD2 = 9 x 4
AD2 = 36
AD = √36 = 6 m

Bagian tanah yang ditanami padi:
(alas x tinggi) : 2 = (9 x 6) : 2 = 27 m2

Bagian tanah yang ditanami sayuran:
(alas x tinggi) : 2 = (4 x 6) : 2 = 12 m2

Soal No. 7
Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC berikut!

smp-kesebangunan-no7

Diketahui panjang AD adalah 8√5 cm dan CD = 16 cm.
Tentukan:
a) panjang CB
b) panjang DB

Pembahasan
a) Hubungan garis tinggi AC dengan sisi miring CB pada segitiga ABC di atas adalah:
AC2 = CB x DB
atau
CB = AC2 /CD
CB = (8√5)2 / 16
CB = 20 cm

b) Panjang DB adalah CB dikurangi CD
DB = CB – CD
= 20 – 16 = 4 cm

Soal No. 8
Perhatikan gambar!
soal-un-matematika-smp-no25
Trapesium ABFE sebangun dengan EFCD. Jika CF : FB = 3 : 4, panjang AB adalah….(UN Matematika SMP 2015)
A. 12 cm
B. 15 cm
C. 16 cm
D. 18 cm

Pembahasan
Sebelum membandingkan sisi-sisi yang bersesuaian, cari dulu panjang EF.
EF : FB = DC : CF
EF = (DC x FB) / CF
= (9 x 4) / 3
= 12 cm

Setelah mendapatkan EF, kini mencari AB
AB : FB = EF : CF
AB = (EF x FB) / CF
= (12 x 4) / 3
= 16 cm
Jawaban: C.

Soal No. 9
Diberikan gambar segitiga PQR sebagai berikut! Garis ST //PQ.
smp-kesebangunan-no9
SR = 6 cm, PS = 4 cm, dan TR = 9 cm. Tentukan panjang QT!

Pembahasan
Kesebangunan pada segitiga yang terbentuk dari garis sejajar pada sisi.

smp-kesebangunan-no9c

Perbandingan panjang PS : RS akan sama dengan perbandingan QT : TR. Perhatikan cara pengambilan perbandingan yang tepat.

Sehingga:
smp-kesebangunan-no9a

Panjang QT adalah 6 cm.

Soal No. 10
Perhatikan gambar berikut!

smp-kesebangunan-no10a
DE sejajar AB dengan AD = 8 cm, DE = 6 cm, AB = 18 cm, dan panjang CD belum diketahui. Tentukan panjang CD yang tepat!

Pembahasan
Kesebangunan pada segitiga. Segitiga DEC sebangun dengan segitiga ABC. Panjang CD adalah x dimana:
smp-kesebangunan-no10b
Panjang CD = 4 cm.

Soal No. 11
Dalam denah rencana pembuatan rumah Pak Budiman, ruang tamu memiliki ukuran panjang 4 cm dan lebar 3 cm. Pada lantai ruang tamu tersebut akan dipasang keramik dengan biaya pemasangan Rp40.000,00 tiap meter persegi. Jika denah dibuat dengan skala 1 : 150, tentukan biaya pemasangan keramik lantai ruang tamu rumah Pak Budiman tersebut!

Pembahasan
Panjang ruang tamu sebenarnya adalah p = 4 cm x 150 = 600 cm = 6 m
Lebar ruang tamu sebenarnya adalah l = 3 cm x 150 = 450 cm = 4,5 m

Luas ruang tamu: p x l = 6 m x 4,5 m = 27 m2
Biaya pengerjaan = Rp40.000,00 x 27 = Rp1.080.000,00

Soal No. 12
Perhatikan gambar berikut!

smp-kesebangunan-no12a
Persegipanjang ABCD dan EFGH adalah sebangun. Perbandingan luas kedua persegi panjang adalah 4 : 9. Tentukanlah:
a) panjang BC
b) panjang GH

Pembahasan
Misalkan panjang BC adalah x dan panjang GH adalah y seperti gambar berikut.
smp-kesebangunan-no12b

Dari perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegipanjang di atas diperoleh sebuah persamaan:
smp-kesebangunan-no12c

Dari perbandingan luas kedua persegipanjang diperoleh pula persamaan:
smp-kesebangunan-no12e

Gabungkan kedua persamaan dengan substitusi nilai x pada persamaan (ii) ke persamaan (i) hingga diperoleh:
xy = 72
(2y)y = 72
2y2 = 72
y2 = 36
y = 6 cm

Nilai x dengan demikian:
x = 2y
x = 2(6) = 12 cm

Diperoleh panjang BC = x = 12 cm dan panjang GH = y = 6 cm

Soal No. 13
Perhatikan gambar berikut!

smp-kesebangunan-no13a
Perbandingan panjang SW dan QW adalah….
A. 2 : 3
B. 3 : 2
C. 3 : 5
D. 5 : 3

Pembahasan
Langkah awal dari kesebangunan segitiga PQR dan STR. Perbandingan sisi yang sesuai:
ST / PQ = SR / PR
ST / PQ = 9 / 15
ST / PQ = 3 / 5

ST : PQ = 3 : 5 artinya misalkan ST = 3x maka PQ = 5x.

Berikutnya dari kesebangunan segitiga PQW dan segitiga STW seperti gambar berikut ini.
smp-kesebangunan-no13b
Diperoleh

smp-kesebangunan-no13c
SW : QW = 3 : 5
Jawaban: C

Soal No. 14
Diberikan trapesium PQRS sebagai gambar berikut!

smp-kesebangunan-no14a
Garis PQ sejajar TU dan panjang PT adalah 1/3 dari panjang PR. Tentukan panjang dari garis TU tersebut!

Pembahasan
Ada 3 segitiga sebangun pada soal di atas, yaitu PQV, TUV dan RSV. Misalkan panjang PT adalah a dan panjang TV adalah b.

Garis-garis lain sepanjang pada PR dengan permisalan ini memiliki panjang sebagai berikut:
smp-kesebangunan-no14d

Berikut ini tiga segitiga dan panjang sisi yang diketahui:
smp-kesebangunan-no14c
Dari segitiga (i) dan (iii) perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian akan diperoleh:

smp-kesebangunan-no14e

Berikutnya dari segitiga (ii) dan (iii) diperoleh
smp-kesebangunan-no14f

Panjang TU adalah
smp-kesebangunan-no14g