Contoh soal dan pembahasan integral trigonometri tak tentu bagian yang kedua. Ada dua bagian kumpulan rumus yaitu rumus integral dan rumus pendukungnya dari rumus trigonometri untuk kelancaran pada bab ini. Kesulitan pada pengintegralan biasanya karena tidak tahu rumus perubahan trigonometrinya.
Rumus Integral Trigonometri
∫ cos (ax + b)dx = 1/a sin (ax + b) + C
∫ sin (ax + b)dx = −1/a cos (ax + b) + C
∫ sec2 (ax + b)dx = 1/a tan (ax + b) + C
∫ csc2 (ax + b)dx = −1/a cot (ax + b) + C
∫ tan (ax + b) sec (ax + b)dx = 1/a sec (ax + b) + C
∫ cot (ax + b) csc (ax + b)dx = −1/a csc (ax + b) + C
Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin(A − B)
2 cos A sin B = sin (A + B) − sin(A − B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + Cos (A − B)
−2 sin A sin B = cos (A + B) − cos (A − B)
Keempat rumus di atas, dapat diubah bentuknya dengan memindahkan angka 2 di ruas kiri ke ruas kanan. Bentuknya menjadi seperti ini:
sin A cos B = 1/2 sin (A + B) + 1/2sin(A − B)
cos A sin B = 1/2sin (A + B) − 1/2sin (A − B)
cos A cos B = 1/2cos (A + B) + 1/2 Cos (A − B)
− sin A sin B = 1/2cos (A + B) − 1/2cos (A − B)
Berikut ini contoh soal dan pembahasannya yang bisa dipelajari.
Contoh Soal
Tentukan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri berikut ini:
1) ∫cos 5x dx
2) ∫sin 4x dx
3) ∫2sin (3x + 5)dx
4) ∫8 cos (4x + 2)dx
5) ∫2sin 3x cos 2x dx
6) ∫ sin 3x + cos 2x dx
7) ∫ [ (sinx + cos x) / (sec x + csc x)]dx
Pembahasan
1) ∫cos 5x dx
= 1/5 sin 5x + C
2) ∫sin 4x dx
= − 1/4 cos 4x + C
3) ∫2sin (3x + 5)dx
= 2∫sin (3x + 5)dx
= 2 ⋅ − 1/3 cos (3x + 5) + C
= − 2/3 cos (3x + 5) + C
4) ∫8 cos (4x + 2)dx
= 8 ∫ cos (4x + 2)dx
= 8/4 sin (4x + 2) + C
= 2 sin (4x + 2) + C
5) ∫2sin 3x cos 2x dx
= ∫ [sin 5x + sin x]dx
= −1/5 cos 5x − cos x + C
6) ∫ sin 3x + cos 2x dx
= ∫{1/2 sin 5x + 1/2 sin x}dx
= − 1/10 cos 5x − 1/2 cos x + C
7) ∫ [ (sinx + cos x) / (sec x + csc x)]dx
Ingat bahwa csc x adalah kebalikan dari sin x dan sec x adalah kebalikan dari cos x.
Setelah diperoleh bentuk perkalian sinus dan cosinus, gunakan rumus yang ada di atas untuk mendapatkan perubahannya kemudian baru diintegralkan dengan mudah.
= ∫ 1/2 sin 2x dx
= – 1/4 cos 2x + C