Contoh Soal Vektor Matematika SMA dan Pembahasan

matematika123.com_ Contoh soal dan pembahasan vektor matematika SMA, matematika 123.

Soal No. 1
Jika PQ = i + 3j + 6k, maka 3PQ adalah….

Pembahasan
Vektor PQ dalam bentuk kolom sebagai berikut, kemudian kalikan 3.

Soal No. 2
Diberikan tiga buah vektor masing-masing sebagai berikut:
p = i + j + k
q = 2i – 3j +k
r = – 2j – 3k

Jika s = 2p – q + 3r, maka s =….
A. i + 2j -7k
B. – i + 6k
C. 6i + 7k
D. – j – 8k
E. j + 4k

Pembahasan
p = i + j + k
q = 2i – 3j +k
r = – 2j – 3k

Menentukan vektor s, harus teliti dengan tanda positif dan negatif dalam soal.
s = 2p – q + 3r
= 2(i + j + k) – (2i – 3j +k) + 3(– 2j – 3k)
= 2i + 2j + 2k – 2i + 3j – k – 6j – 9k
= 2i – 2i + 2j + 3j – 6j + 2k – k – 9k
s = – j – 8k

Soal No. 3
Diketahui dua buah vektor masing-masing |ā| = 2 dan |b̄| = 1. Jika sudut antara kedua vektor adalah 60° maka |ā + b̄| sama dengan….
A. √3
B. √5
C. √6
D. √7
E. √11

Pembahasan
Penjumlahan dua buah vektor, cos 60° = 1/2. Misal hasilnya adalah c̄:
|c̄|2 = |ā|2 + |b̄|2 + 2|ā||b̄| cos θ
|c̄|2 = (2)2 + (1)2 + 2(2)(1)(1/2);
|c̄|2 = 4 + 1 + 2
|c̄|2 = 7
|c̄| = √7

Soal No. 4
Diketahui dua buah vektor masing-masing |p̄| = 2 dan |q̄| = 1. Jika sudut antara kedua vektor adalah 120° maka |p̄ − q̄|2 sama dengan….
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9

Pembahasan
Pengurangan dua buah vektor:
|p̄ − q̄|2 = |p̄|2 + |q̄|2 − 2|p̄||q̄| cos θ

Dengan
cos 120° = −1/2

|p̄ − q̄|2 = (2)2 + (1)2 − 2(2)(1)(−1/2)
|p̄ − q̄|2 = 4 + 1 + 2
|p̄ − q̄|2 = 7

Jawaban: C. 7

Soal No. 5
Tiga buah titik P, Q, dan R terletak pada satu garis. Jika P (1, 2, −1), Q (3, 0, 2) dan R (7, −4, 2b + 1), maka nilai b sama dengan….
A. 3/2
B. 5/2
C. 7/2
D. 9/2
E. 11/2

Pembahasan
P, Q, dan R dalam satu garis maka berlaku:

PQ = k QR

Dimana PQ = Q − P dan QR = R − Q

P (1, 2, −1), Q (3, 0, 2) dan R (7, −4, 2b + 1)

2 = k(4)

Terlihat bahwa k = 2/4 = 1/2 sehingga
3 = k(2b – 1 )
3 = 1/2(2b – 1)
6 = 2b – 1
2b = 7
b = 7/2
Jawab: B. 7/2

Soal No. 6
Jika vektor ā dan vektor b̄ membentuk sudut 60°, |ā| = 4, dan |b̄| = 3, maka ā ⋅ (ā − b̄) = …..(UMPTN 1992)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10

Pembahasan
Rumus perkalian dua vektor:
ā ⋅ b̄ = |ā| |b̄| cos θ

Sehingga:
ā ⋅ (ā − b̄)
= ā ⋅ ā − ā ⋅ b̄
= |ā| |ā| cos 0° − |ā| |b̄| cos 60°
= (4)(4)(1) − (4)(3)(1/2)
= 16 − 6
= 10
Jawaban: E. 10

Soal No. 7
Diberikan dua buah vektor p̄ dan q̄ masing-masing:
p̄ = 2i – j + 3k
q̄ = i + 3j – 2k

Nilai kosinus sudut antara vektor p̄ dan q̄ adalah…
A. – 1
B. – 1/2
C. 0
D. 1/2
E. 1

Pembahasan
Sudut antara dua vektor.


Jawaban: B. -1/2

Soal No. 8
Jika vektor-vektor p̄ = (x + 1) i -5j + k dan q̄ = -7i – 2j + (y + 2)k saling tegak lurus, maka berlaku….. (matematika123.com_2020)
A. y = 3x – 5
B. y = 4x – 5
C. y = 5x – 5
D. y = 6x – 5
E. y = 7x – 5

Pembahasan
Dua buah vektor saling tegak lurus maka berlaku p̄ ⋅ q̄ = 0

(x + 1)(-7) -5(-2) + 1(y + 2) = 0
-7x – 7 + 10 + y + 2 = 0
-7x + y + 5 = 0
y = 7x – 5
Jawaban: E. y = 7x – 5