Contoh Soal Relasi dan Fungsi

Matematika123.com- Contoh pembahasan soal tentang relasi dan fungsi. Menentukan bayangan suatu fungsi, banyaknya pemetaan dari himpunan A ke B dan menentukan rumus suatu fungsi.

Soal No. 1
A adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari 10. Sementara diketahui B = {p, q, r}. Tentukan:
(a) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B
(b) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan B ke himpunan A

Pembahasan
A = {2, 3, 5, 7} sehingga banyak anggota A → n(A) = 4
B = {p, q, r} sehingga banyak anggota himpunan B → n(B) = 3

(a) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B
= 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
(b) banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan B ke himpunan A

= 43 = 4 x 4 x 4 = 64

Soal No. 2
Diketahui A = {p, q, r, s, t} dan B = {2, 3, 5, 7, 11}. Tentukan banyaknya korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan A ke himpunan B!

Pembahasan
Korespondensi satu-satu dapat dibuat jika banyak anggota himpunan A sama dengan banyak anggota himpunan B.

relasi-dan-fungsi-no2a

Dua himpunan di atas memiliki banyak anggota yang sama yaitu 5 buah. Banyaknya korespondensi satu-satu yang dapat dibuat:
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah

Bagaimana jika jumlah anggotanya masing-masing ada 6?
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Anggotanya 7?
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
dst

Soal No. 3
Diketahui:
f:x → x2 + 2x – 15

Tentukanlah:
(a) bayangan dari 3p
(b) bayangan dari 2

Pembahasan
Rumus fungsinya adalah f(x) = x2 + 2x – 15 sehingga:
(a) bayangan dari 3p
f(x) = x2 + 2x – 15
f(3p) = (3p)2 + 2(3p) – 15
f(3p) = 9p2 + 6p – 15

(b) bayangan dari 2

f(x) = x2 + 2x – 15
f(2) = 22 + 2(2) – 15
f(2) = 4 + 4 – 15
f(2) = -7

Soal No. 4
Diberikan suatu fungsi g(x) = 3x + 2p. Jika g(5) = 29, tentukan nilai p!

Pembahasan
Diketahui:
g(x) = 3x + 2p
Jika g(5) = 29

Sehingga:
3(5) + 2p = 29
15 + 2p = 29
2p = 29 – 15
2p = 14
p = 7

Soal No. 5
Diberikan rumus suatu fungsi adalah f(x) = ax + b. Jika f(1) = 12 dan f(-1) = 8, tentukan:
a) nilai dari a2 – b2
b) nilai dari f(2)
c) nilai dari f(2) – 2ab

Pembahasan
f(1) = 12
a(1) + b = 12
a + b = 12 ….(i)

f(-1) = 8
a(-1) + b = 8
-a + b = 8 ….(ii)

Dari (i) dan (ii):
a + b = 12
-a + b = 8
——- +
2b = 20
b = 10

Menentukan nilai a:
a + b = 12
a + 10 = 12
a = 2

a) nilai dari a2 – b2
a2 – b2 = 22 – (10)2
= 4 – 100
= 96

b) nilai dari f(2)
Rumus fungsi di atas:
f(x) = ax + b
f(x) = 2x + 10

Sehingga untuk x = 2 diperoleh
f(2) = 2(2) + 10
f(2) = 14

c) nilai dari f(2) – 2ab
f(2) – 2ab = 14 – 2(2)(10)
= 14 – 40
= -26

Soal No. 6
Diketahui f(x + 2) = 2x + 12 maka f(x) =……(matematika123.com_2020)
A. 2x + 14
B. 2x +10
C. 2x + 8
D. 2x + 6

Pembahasan
Diketahui:
f(x + 2) = 2x + 12
f(x) =……

Lakukan permisalan dengan p:
Misal x + 2 = p, sehingga x = p − 2

Lakukan substitusi:
f(x + 2) = 2x + 12
f(p) = 2(p − 2) + 12
f(p) = 2p − 4 + 12
f(p) = 2p + 8

Ganti lagi p dengan x
f(p) = 2p + 8
f(x) = 2x + 8

Soal No. 7
Diketahui:
f(x + 2) = 2x + 12
f(5) =….(matematika123.com_2020)
A. 15
B. 18
C. 20
D. 24

Pembahasan
f(x + 2) = 2x + 12
f(5) =….

Cara Pertama
Menentukan f(x) terlebih dahulu, kemudian baru f(5). Lakukan seperti soal sebelumnya.

Lakukan permisalan dengan p:
Misal x + 2 = p, sehingga x = p − 2

Lakukan substitusi:
f(x + 2) = 2x + 12
f(p) = 2(p − 2) + 12
f(p) = 2p − 4 + 12
f(p) = 2p + 8

Ganti lagi p dengan x
f(p) = 2p + 8
f(x) = 2x + 8

Sehingga:
f(5) = 2(5) + 8
= 10 + 8 = 18

Cara kedua
f(x + 2) = 2x + 12
f(5) =….

Tentukan nilai x yang membuat jadi f(5)
x + 2 = 5
x = 5 – 2
x = 3

Setelah x ditemukan, masukkan ke fungsi di soal
f(x + 2) = 2x + 12
f(3 + 2) = 2(3) + 12
f(5) = 6 + 12

f(5) = 18
Terlihat f(5) bernilai 18

Soal No. 8
Diketahui:
f(x) = 2x + 8
f(x + 2) =….(matematika123.com_2020)
A. 2x + 10
B. 2x + 12
C. 2x + 14
D. 2x + 16

Pembahasan
Kebalikan dari soal No. 6 dengan angka yang sama.
f(x) = 2x + 8
f(x + 2) = 2(x + 2) + 8
f(x + 2) = 2x + 4 + 8
f(x + 2) = 2x + 12

Soal No. 9
Diketahui:
f(x) = 2x + 8
f(2a + 3) =….(matematika123.com_2020)
A. 2a + 10
B. 2a + 14
C. 4a + 10
D. 4a + 14

Pembahasan
f(x) = 2x + 8
f(2a + 3) =….
= 2(2a + 3) + 8
= 4a + 6 + 8
= 4a + 14
Jawaban: D

Soal No. 10
Himpunan pasangan berurutan berikut ini yang merupakan pemetaan adalah…
(1) {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (7, 5)}
(2) {(2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10) }
(3) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (7, 7) }
(4) {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (1, 6) }

A. 1, 2, dan 3
B. 1 dan 3
C. 2 dan 4
D. 4 saja

Pembahasan
Ciri suatu fungsi atau pemetaan pada pasangan berurut:
Bagian DEPAN tidak boleh ada yang SAMA, bagian belakang boleh SAMA.
(2) salah, bagian depan sama semua
(4) salah, ada dua pasang yang sama
Jawaban: B

Soal No. 11
Diketahui rumus fungsi f(x) = 2x − 3. Jika f(m) = 5 dan f(−2) = n maka nilai m + n adalah….(UN Matematika SMP TP 2017/2018)
A. 5
B. 2
C. -3
D. -6

Pembahasan
Rumus fungsi yang diberikan adalah f(x) = 2x − 3.
Dari f(m) = 5
2m − 3 = 5
2m = 8
m = 4

Dari f(−2) = n
2(−2) − 3 = n
−4 − 3 = n
−7 = n
n = − 7

Diminta m + n
m + n = 4 − 7 = − 3

Soal No. 12
Perhatikan diagram panah!


Rumus fungsi dari P ke Q adalah….(UN Matematika SMP TP 2017/2018)
A. f(x) = 4(2x + 5)
B. f(x) = 3(2x + 3)
C. f(x) = 2(3x + 9)
D f(x) = 1/2(6x + 18)

Pembahasan
Cek pilihan:
B. f(x) = 3(2x + 3)
f(2) = 3(2⋅2 + 3) = 21
f(6) = 3(2⋅6 + 3) = 45
f(10) = 3(2⋅10 + 3) = 69

Jawaban: B