matematika123.com_ Contoh soal sistem persamaan yang mengandung 3 variabel. Bisa dalam bentuk x, y, dan z atau p, q, dan r atau a, b, c dan sebagainya baik dalam bentuk bilangan bulat maupun pecahan.
Soal No. 1
Diberikan tiga buah persamaan sebagai berikut:
2x + 3y + z = 11
x + 2y + z = 8
3x + y + 2z = 11
Nilai dari x + y − z adalah…
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
Pembahasan
Persamaannya:
2x + 3y + z = 11 ……(i)
x + 2y + z = 8 ……..(ii)
3x + y + 2z = 11 …… (iii)
| Langkah Penyelesaian: -Dari persamaan (i) dan (ii) dapat persamaan (iv) -Dari persamaan (i) dan (iii) dapat persamaan (v) -Eliminasi dengan persamaan (iv) dan (v) |
Dari persamaan (i) dan persamaan (ii)
2x + 3y + z = 11 (i)
x + 2y + z = 8 (ii)
___________ −
x + y = 3 (iv)
Dari persamaan (i) dan persamaan (iii)
2x + 3y + z = 11 dikali 2
3x + y + 2z = 11 dikali 1
4x + 6y + 2z = 22
3x + y + 2z = 11
___________ −
x + 5y = 11 (v)
Mencari nilai x, ambil persamaan (iv)
x + y = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1 ///
Mencari nilai z, ambil persamaan (ii)
x + 2y + z = 8
1 + 2(2) + z = 8
1 + 4 + z = 8
5 + z = 8
z = 8 −5
z = 3
Sehingga nilai dari x + y − z = 1 + 2 − 3 = 0
Soal No. 2
Tiga buah persamaan sebagai berikut:
6/x + 4/y + 1/z = 5
3/x + 2/y + 3/z = 5
1/x + 1/y + 1/z =11/6
Nilai perbandingan dari x : y : z dari persamaan di atas adalah….
A. 1 : 2 : 3
B. 3 : 2 : 1
C. 1 : 3 : 4
D. 2 : 3 : 4
E. 4 : 5 : 6
Pembahasan
Persamaan:
6/x + 4/y + 1/z = 5 (i)
3/x + 2/y + 3/z = 5 (ii)
1/x + 1/y + 1/z = 11/6 (iii)
Dari (i) dan (ii), persamaan (i) dikali dengan 3 dan persamaan (ii) dikali dengan 1
18/x + 12/y + 3/z = 15 (i)
3/x + 2/y + 3/z = 5 (ii)
______________ −
15/x + 10/y = 10 (iv)
Persamaan (i) dan (iii), tidak perlu dikali
6/x + 4/y + 1/z = 5 (i)
1/x + 1/y + 1/z = 11/6 (iii)
_______________ −
5/x + 3/y = 19/6 (v)
Eliminasi x dari persamaan (iv) dikali 1, persamaan (v) dikali 3
15/x + 10/y = 10
15/x + 9/y = 19/2
__________ −
1/y = 1/2
2 = y
y = 2 ///
Lanjutkan mencari x, ambil persamaan (iv) saja
15/x + 10/y = 10
15/x + 10/2 = 10
15/x + 5 = 10
15/x = 10 − 5
15/x = 5
15 = 5x
x = 15/3
x = 3
Mencari z, dari persamaan (ii)
3/x + 2/y + 3/z = 5
3/3 + 2/2 + 3/z = 5
1 + 1 + 3/z = 5
2 + 3/z = 5
3/z = 5 − 2
3/z = 3
3 = 3z
z = 3/3
z = 1
Sehingga x : y : z = 3 : 2 : 1
Soal No. 3
Diberikan tiga buah persamaan sebagai berikut:
a + b + c = 12
2a − b + 2c = 12
2a + 2b − c = 18
Nilai dari 1/2 a + 1/2 b + 1/2 c adalah…..
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
Kunci:
C. 6
Pembahasan
Persamaan:
a + b + c = 12 (i)
2a – b + 2c = 12 (ii)
2a + 2b – c = 18 (iii)
Dari (i) dan (ii)
a + b + c = 12 |x 2|
2a – b + 2c = 12 |x 1|
2a + 2b + 2c = 24
2a – b + 2c = 12
___________ −
3b = 12
b = 4 /////
Dari (i) dan (iii)
a + b + c = 12 |x 2|
2a + 2b – c = 18 |x 1|
2a + 2b + 2c = 24
2a + 2b – c = 18
___________ −
3c = 6
c = 2
Soal No. 4
Persamaan:
2x + z = 5
x − y = 1
3y − z = 2
Nilai dari x + y + z adalah…
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Kunci :
D. 4
Pembahasan
Persamaan:
2x + z = 5 (i)
x – y = 1 (ii)
3y – z = 2 (iii)
Dari persamaan (i) dan (ii), persamaan (i) tetap, persamaan (ii) dikali 2, agar sama-sama 2x
2x + z = 5
2x −2y = 2
_________ −
z + 2y = 3
atau
2y + z = 3 (iv)
Mencari x, dari persamaan ii
x – y = 1
x – 1 = 1
x = 1 + 1
x = 2///
Mencari z dari persamaan i
2x + z = 5
2(2) + z = 5
4 + z = 5
z = 5 – 4
z = 1
Jadi x = 2, y = 1 dan z = 1 sehingga x + y + z = 2 + 1 + 1 = 4
Jawaban D ///
Soal No. 5
Diberikan tiga persamaan sebagai berikut:
1/2 x + 1/3 y + 1/4 z = 3
1/2 x + 2/3 y + 3/4 z = 6
x + 2y − 1/2 z = 6
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah…
A. {1, 2, 3}
B. {2, 3, 4}
C. {3, 4, 5}
D. {4, 5, 6}
E. {5, 6, 7}
Kunci
B. {2, 3, 4}