Matematika123.com- Contoh soal dan pembahasan matematika SMA tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Dibahas juga rumus selisih akar-akar, selisih kuadrat akar-akar persamaan kuadrat.
Soal No. 1
Diberikan suatu persamaan kuadrat:
x2 -3x + 6 = 0
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Tentukan nilai dari x12 + x22
Pembahasan
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat x2 -3x + 6 = 0 adalah
x1 + x2 = -b/a = -(-3)/1 = 3
x1 ⋅ x2 = c/a = 6/1 = 6
Sehingga:
x12 + x22 = ( x1 + x2)2 – 2x1 ⋅ x2
= (3)2 – 2(6)
= 9 -12
= -3
Soal No. 2
Diberikan suatu persamaan kuadrat:
x2 -3x + 6 = 0
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Tentukan nilai dari (x1 – x2)2
Pembahasan
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat x2 -3x + 6 = 0 adalah
x1 + x2 = -b/a = -(-3)/1 = 3
x1 ⋅ x2 = c/a = 6/1 = 6
Sehingga:
(x1 – x2)2 = ( x1 + x2)2 – 4x1 ⋅ x2
= (3)2 – 4(6)
= 9 -24
= -15
Hasil negatif pada kuadrat selisih akar, persamaan kuadrat tidak memiliki akar-akar yang real, D < 0
Soal No. 3
Diberikan suatu persamaan kuadrat:
2x2 -36x + 5 = 0
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Tentukan nilai dari 5/x1 + 5/x2
Pembahasan
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat x2 -3x + 6 = 0 adalah
x1 + x2 = -b/a = 6
x1 ⋅ x2 = c/a = 5/2
Sehingga:
5/x1 + 5/x2 = 5x1 + 5 x2/x1x1
= 5(x1 + x2)/x1x1
= 5(6)/5/2
= 12
Soal No. 4
Diberikan suatu persamaan kuadrat:
2x2 -36x + 5 = 0
x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Tentukan nilai dari:
Pembahasan
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat x2 -3x + 6 = 0 adalah
x1 + x2 = -b/a = 6
x1 ⋅ x2 = c/a = 5/2
Sementara itu nilai dari (x13 + x23 ) adalah
Dengan demikian diperoleh:
Soal No. 5
Diketahui persamaan kuadrat:
x2 + 4x + q = 0
Jika x1 – x2 = 10, tentukan nilai q di atas!
Pembahasan
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat pada soal:
x1 + x2 = -b/a = -4
Eliminasikan persamaan ini dengan data dari soal hingga diperoleh:
x1 + x2 = -4
x1 – x2 = 10
————– +
2x1 = 6
x1 = 3
Masukkan ke persamaan kuadrat di atas
x2 + 4x + q = 0
(3)2 + 4(3) + q = 0
9 + 12 + q = 0
q = -21
Soal No. 6
Akar-akar persamaan kuadrat x2 − 13x + C = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 − x2 = 3, maka nilai C adalah….(matematika123.com_2020-)
A. 25
B. 30
C. 35
D. 40
E. 50
Pembahasan
Bisa dikerjakan seperti soal No. 5, atau dengan rumus lain. Untuk menentukan rumus dari x1 − x2 bisa diambil dari rumus ABC yang telah dikenal sebelumnya:
dengan
D = b2 − 4ac
sehingga:
x1 − x2 = 3
Terlihat nilai c = 160/40 = 40
Kita coba periksa lagi dengan cara seperti No.5
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat pada x2 − 13x + C = 0 :
x1 + x2 = -b/a =13
Eliminasikan persamaan ini dengan data dari soal hingga diperoleh:
x1 + x2 = 13
x1 – x2 = 3
————– +
2x1 = 16
x1 = 8
Masukkan ke persamaan kuadrat x2 − 13x + C = 0
x2 − 13x + C = 0
(8)2 − 13(8) + C = 0
64 − 104 + C = 0
C = 104 − 64 = 40
Soal No. 7
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + k = 0 adalah x1 dan x2. Jika x12 − x22 = −32, maka k =…(Soal SPMB Tahun 2005)
A. -2
B. -6
C. 6
D. 12
E. 24
Pembahasan
Dari:
x12 − x22 = (x1 + x2)(x1 −x2)
Dengan rumus selisih maupun jumlah akar-akar yang sudah ada di soal-soal sebelumnya diperoleh
Soal No. 8
Selisih kuadrat akar-akar persamaan 2x2 -6x + 2k + 1 = 0 adalah 6. Nilai k adalah…(Soal UMPTN Tahun 1998)
A. 1/4
B. 3/4
C. -5/4
D. -3/4
E. -1/4
Pembahasan
2x2 -6x + 2k + 1 = 0
a = 2
b = -6
c = 2k + 1
Dari rumus selisih kuadrat akar-akar seperti soal no.6 sebelumnya:
Terlihat hasilnya adalah k = 3/4