matematika123.com_ Feb2021 Disajikan beberapa contoh soal berkaitan dengan penggunaan turunan atau aplikasi derivatif dalam kehidupan sehari-hari kelas 11 SMA.
Soal No. 1
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari (3x – 900 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu….(UMPTN Tahun 2001)
Pembahasan
Pertama ditentukan dulu fungsi biaya untuk x hari. Di soal diketahui biaya perhari sehingga harus dikali dengan x terlebih dahulu:
f(x) = x (3x – 900 + 120/x)
f(x) = (3x2 – 900x + 120) ratus ribu rupiah
Untuk menentukan x saat nilai fungsinya minimum, terjadi saat turunan pertama fungsi di atas sama dengan nol:
f(x) = 3x2 – 900x + 120
f'(x) = 6x – 900
6x – 900 = 0
6x = 900
x = 900/6
x = 150 hari
Soal No. 2
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar 75 + 2x + 0,1x2 rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp40,00 untuk setiap produknya, maka laba maksimum yang diperoleh adalah….(Soal SPMB Tahun 2002)
Pembahasan
Laba adalah harga jual dikurangi dengan biaya total.
Harga jual untuk x produk adalah Harga jual = 40x
Fungsi laba:
f(x) = Harga jual – biaya total
f(x) = 40x – (75 + 2x + 0,1x2)
f(x) = 38x -75 – 0,1x2
Nilai maksimum:
f'(x) = 0
f'(x) = 38 – 0,2x = 0
0,2x = 38
x = 190
Nilai maksimum laba:
x = 190
f(x) = 38x -75 – 0,1x2
f(x) = 38(190) -75 – 0,1x(190)2
= 7220 – 75 – 3610
= 3535
Soal No. 3
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 + 2x2 -5x di titik (1,-2) adalah….(UMPTN 1996)
Pembahasan
Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva dicari dulu gradien atau m dari garis tersebut. Dengan memanfaatkan turunan fungsi:
y = x3 + 2x2 -5x
y’ = 3x2 + 4x -5
m = 3(1)2 + 4(1) -5
m = 3 + 4 -5
m = 2
Titik singgung (1, -2) :
y – y1 = m(x – x1)
y -(-2) = 2(x – 1)
y + 2 = 2x -2
y = 2x – 4
Soal No. 4
Kurva f(x) = x3 + 3x2 -9x + 7 naik untuk nilai-nilai x….(UMPTN 1996)
A. x > 0
B. -3 < x < 1
C. -1 < x < 3
D. x < -3 atau x > 1
E. x < -1 atau x > 3
Pembahasan
Cari turunan fungsinya terlebih dahulu, ingat:
Fungsi f(x) naik saat f'(x) > 0
f(x) = x3 + 3x2 -9x + 7
f'(x) = 3x2 + 6x -9
Fungsi naik:
f'(x) > 0
3x2 + 6x -9 > 0
x2 + 2x -3 > 0
(x + 3)(x – 1) > 0
x < -3 atau x > 1
Soal No. 5
Kurva fungsi f(x) = 2x3 + 9x2 -24x + 5 turun untuk nilai-nilai x…
A. -1 < x < 4
B. -1 < x < 4
C. -4 < x < 1
D. -4 > x atau x > 1
E. -1 > x atau x > 4
Pembahasan
Cari turunan fungsinya terlebih dahulu, ingat:
Fungsi f(x) turun saat f'(x) < 0
f(x) = 2x3 + 9x2 -24x + 5
f'(x) = 6x2 + 18x -24
Fungsi turun:
f'(x) < 0
6x2 + 18x -24 0
x2 + 3x -4 < 0
(x + 4)(x – 1) < 0
-4 < x < 1