Contoh Penerapan Integral Volume Benda Putar untuk Menentukan Volume Tabung dan Kerucut

Matematika123.com- Contoh pembahasan soal tentang penerapan integral volume benda putar untuk menentukan volume tabung dan kerucut terpancung lurus.

Soal No. 1
Diberikan gambar tabung sebagai berikut!

Tinggi tabung adalah 12 cm dan jari-jarinya 10 cm. Hitunglah volume tabung tersebut dengan menggunakan integral kemudian buktikan dengan menggunakan rumus tabung yang sudah dikenal di SMP! Nyatakan volumenya dalam π cm³

Pembahasan
Langkah pertama tempatkan tabung si koordinat cartesian. Sumbu putar tabung tepat berada di y = 0 atau berhimpit dengan sumbu x seperti ditunjukkan gambar berikut ini.

Langkah berikutnya adalah menentukan persamaan garis yang melalui titik A dan B pada gambar. Pada kasus tabung ini persamaannya cukup mudah yaitu garis y = 10 atau bentuk umumnya y = r dimana r adalah jari-jari tabung.

Berikutnya dengan volume benda putar di mana rumusnya adalah:
V = π^b_{a∫ y² dx}

Volume tabung dari perhitungan dengan memanfaatkan metode integral volume benda putar adalah 1200π cm³

Seperti telah diketahui volume tabung dapat dicari dengan rumus:
V = πr²t
= π(10)² x 12
= 1200π cm³

Dengan demikian hasil kedua cara adalah sama

Soal No. 2
Perhatikan gambar kerucut terpancung mendatar berikut ini! Tinggi kerucut adalah 12 cm dengan jari-jari lingkaran alas 10 cm dan jari-jari lingkaran penutupnya 5 cm.

Hitunglah volume bangun ruang di atas dengan metode integral volume benda putar kemudian buktikan dengan perhitungan yang lain! Nyatakan volume dalam π cm³!

Pembahasan
Sama seperti contoh sebelumnya, tempatkan kerucut dalam sumbu xy. Agar lebih mudah putar dulu potongan kerucut itu hingga seperti gambar berikut ini.

Langkah berikutnya adalah menentukan persamaan garis yang melalui titk A dan B yang diberikan pada gambar di atas. Titik A(0, 5) dan titik B(12, 10).

Gradien atau kemiringan garis AB adalah
m = (10 – 5) / (12 – 0)
m = 5/12

Sehingga persamaan garis AB dengan m = 5/12 dan melalui titik (0, 5) tidak lain adalah:
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = ⁵/₁₂(x – 0)
y = ⁵/₁₂ x + 5

Volume kerucut terpancung di atas dengan demikian adalah:
V = π^b_{a∫ y² dx}

Volume kerucut adalah 700π cm³

Perhitungan dengan cara lain dapat dilakukan dengan perbandingan dua segitiga yang dibentuk oleh garis tinggi, jari-jari dan garis pelukis dari kerucut seperti materi kesebangunan matematika SMP dan akan diperoleh hasil yang sama.